海伦公式证明向量法（海伦公式证明）

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1、证明过程证明（1）　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 　　S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C) 　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　设p=(a+b+c)/2 　　则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。 　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 　　所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 　　q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 　　当P=1时，△ 2=q, 　　△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 　　因式分解得 　　△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] 　　=1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] 　　=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) 　　=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) 　　=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] 　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　由此可得： 　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　其中p=1/2(a+b+c) 　　这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。 　　S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 　　根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题： 　　已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 　　这里用海伦公式的推广 　　S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边） 　　代入解得s=8√ 3 证明（3）　　在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c 　　O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 　　有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 　　r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r 　　∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 　　∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) 　　=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 　　=ptanA/2tanB/2tanC/2 　　=r 　　∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 　　∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) 　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 　　证明(4) 　　通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1) 编辑本段推广　　关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 　　设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2,则 　　S△ABC 　　=1/2 aha 　　=1/2 ab×sinC 　　= r p 　　= 2R^2sinAsinBsinC 　　= √[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 编辑本段海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、 海伦公式的证明　　证一： 勾股定理 　　如右图   

1、勾股定理证明海伦公式

2、斯氏定理证明海伦公式

3、恒等式证明(1)

4、恒等式证明(2)

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。

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