问空间点到平面的距离公式是什么

【空间点到平面的距离公式是什么】在三维几何中，计算一个点到平面的距离是一个常见的问题。这个距离可以用于多个领域，如计算机图形学、工程设计和物理建模等。了解并掌握该公式的推导与应用，有助于更深入地理解空间几何关系。

一、公式总结

点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ ax + by + cz + d = 0 $ 的距离公式为：

$$

D = \frac{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

$$

其中：

- $ (x_0, y_0, z_0) $ 是点的坐标；

- $ a, b, c $ 是平面法向量的分量；

- $ d $ 是平面方程中的常数项；

- 分母是法向量的模长，表示方向的单位化。

二、公式解析

1. 平面的一般方程：

平面的标准形式为 $ ax + by + cz + d = 0 $，其中 $ (a, b, c) $ 是该平面的法向量。

2. 点到平面的距离：

这个距离实际上是点沿着法向量方向到平面的最短距离，因此可以通过向量投影来求得。

3. 绝对值的意义：

公式中的绝对值确保了距离始终为非负值，无论点位于平面的哪一侧。

三、使用步骤

四、示例

已知点：$ P(1, 2, 3) $

已知平面：$ 2x - y + 3z - 6 = 0 $

代入公式：

$$

D = \frac{2(1) - 1(2) + 3(3) - 6}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{2 - 2 + 9 - 6}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{3}{\sqrt{14}}

$$

所以，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{3}{\sqrt{14}} $。

五、表格总结

通过上述内容，我们可以清晰地理解“空间点到平面的距离公式”的含义、推导过程及实际应用方法。掌握这一公式，有助于提升空间思维能力和数学应用水平。