什么是集合概念(什么是集合)
大家好,我是小百,我来为大家解答以上问题。什么是集合概念,什么是集合很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
1、在一般的教科书中,通常用描述性的“定义”来说明集合这个概念: 集合是具有一定性质的事物的全体。
2、 但这不是一个精确的定义。
3、因为什么叫“事物”,什么叫“一定性质”, 什么叫“全体”,含义都没有严格界定。
4、当然在大多数情况下,这并不防碍我们正确地应用“集合”这个概念及集合的性质来解决一些问题。
5、在应用集合概念和理论的时候,我们要求集合有所谓的“一定性”: 即对于任何一个事物y和任何一个集合B,“y是集合B中的一个事物”与“y不是集合B中的一个事物”必定有一个断言而且只有一个断言是正确的。
6、 因而,在一般情况下,集合的界定是很清楚的。
7、然而在某些情况下,按上述描述性定义规定的集合概念回产生麻烦。
8、如: (1)理发师悖论 理发师说;他给一切“不给自己刮脸的人”刮脸。
9、 初看起来,理发师的服务对象组成了一个集合B。
10、但是在讨论理发师自己是否属于B时却出现了矛盾。
11、理发师若不给自己刮脸,他就应该属于B,即自己也成了自己的服务对象,他就应该给自己刮脸。
12、这样,他就属于“给自己刮脸的人”,从而他就不属于B。
13、但是若他不属于B,即他“给自己刮脸“,他自己就不是服务对象,他就不应该给自己刮脸,因而也产生矛盾。
14、 这样的悖论还有许多。
15、 (2)语义悖论 由于英语中的音节只有有限多个,因而英语中包含的音节数少于40个的英语表达式也只可能是有限多个。
16、特别地,用这样的表达式能表示的正整数也只可能是有限多个。
17、我们用B表示“能用这样的表达式表示的正整数全体所组成的集合”。
18、设x是用少于40个音节不能表达的最小正整数。
19、但是x可以用下面的英语表达式表示: The least positive integer which is not denoted by an expression in the English language containing fewer than forty syllables. 上述表达式只含有37个音节,因而x属于B,与x不属于B矛盾。
20、 鉴于以上类型例子的矛盾,数学家重新研究了集合论的基础,尝试用各种方法来避免悖论。
21、他们提出了集合论的公理系统,其作用是对作为数学研究对象的集合加上一定的限制,使之得以消除产生悖论的可能。
22、在这些限制下,上述种种“集合“都被排除在数学研究的对象之外。
23、当然这些限制也是非常宽松的,足够保留数学理论所有有价值的东西,足够满足数学发展的需求。
24、在这样的公理化理论中,集合这个概念仍然不加定义,但是它的性质就由所谓的“集合公理”反映出来。
25、而对集合论基础的研究,导致了数学的一个重要分支——数理逻辑的迅速发展。
本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。
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