积分中值定理 定积分中值定理的内容

积分中值定理(定积分中值定理的内容)

今天是高等数学第十二讲。我们继续看定积分。

在讲微分求导的内容之前，我先介绍了微分中值定理的一系列求导。既然有微分中值定理，自然就有积分中值定理。我们来看看积分中值定理的定义。

极值定理也叫极大极小定理，它的意义很直观:如果函数f(x)在区间[a，b]内是连续的，那么一定有一个最大值和最小值，最大值和最小值至少要得到一次。

这是一个非常著名的定理，其内容直观，不难理解。但是证明起来并不容易，它是由几个定理推导出来的，如区间套定理和B-M定理等。这一阶段的证明过程相当复杂。由于篇幅和层次的限制，本文只能跳过这一部分，感兴趣的同学可以自行理解。

假设m和m分别是区间[a，b]中函数f(x)的最小值和最大值，根据极值定理，可以得到如下公式:

这个公式光看可能有点复杂，但是我们画完图之后就很简单了:

上图灰色阴影部分是定积分的结果。蓝色矩形区域为m(b-a)，大矩形区域为M(b-a)。

通过几何面积的关系，我们很容易证明这个结论。

数学证明也很简单，由于m和M分别是最小值和最大值，所以我们可以得到 m

数学证明也很简单。因为m和m分别是最小值和最大值，所以我们可以得到m

两边积分的结果就是矩形面积，所以我们得到了证明。

极值定理很简单，但却是很多定理的基础。比如我们的积分中值定理就与之密切相关。

让我们对上面的公式做一个简单的变形。因为b-a是一个常数，大于0，所以我们在

将这个不等式的两边同时除以b-a，你可以得到:

让我们把

这个公式被看作一个整体，它的值位于区间内函数的最大值和最小值之间。根据连续函数的中间值定理，我们当然可以在[a，b]上找到一个点ξ，使得f(x)在这个点ξ上的值等于这个值，即:

上面的公式就是积分中值定理。这里有两点需要注意。先说一个简单的点，就是我们用连续函数的中值定理。因此，限制这必须是一个连续函数，否则，可能发生函数在ξ点未定义的情况。这也是定理成立的前提。

第二点是简单介绍连续函数的中间值定理，意思是对于一个在区间[a，b]内连续的函数，对于它的最大值和最小值之间的任何常数，我们都可以在区间[a，b]内找到一个点，使这个点的函数值等于这个常数。

了解了这些细节之后，我们再来看看刚才的公式:

让我们将常数相乘:

右边的积分算什么？它计算曲线被函数包围的面积，但现在我们已经将其转换为函数值乘以宽度，因此我们可以将其视为矩形的高度。让我们看看下面的图片。

也就是说，f(ξ)为高的矩形面积等于函数包围的曲面面积，所以它不仅是矩形的高度，也是函数在[a，b]上的平均值。

中值定理是微积分领域最重要的定理，几乎没有一个是整个微积分的主线。我们熟悉了中值定理的推导过程，这对我们加深对微积分的理解很有帮助。更重要的是，相对来说，这两个定理的推导过程并不是很难，而且还挺有意思的，所以建议大家试一试。

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