椭圆形面积计算公式 椭圆周长简单计算公式

椭圆面积计算公式(椭圆周长简易计算公式)

椭圆的面积是在《关于圆锥和球面》一书中计算出来的(命题4)。

当我们垂直缩小一个圆时，我们得到一个椭圆。椭圆有一个长半轴和一个短半轴。

椭圆面积公式是圆面积的一个美丽的扩展。长半轴A和短半轴B的椭圆面积为:

首先，我们用直观的方法推导出这个公式。但是阿基米德的“方法”和严格的定理证明有明显的区别。

之后，我们将解释阿基米德是如何证明这个结果的。

围绕椭圆的半径为a的圆称为它的辅助圆。如果我们缩小圆(垂直)，我们得到一个椭圆。给定椭圆上的点m，它满足以下关系:

阿基米德考虑了一些由椭圆和辅助圆内接的多边形。这些多边形的边数等于4的倍数，水平直径的两端用作顶点。

内接多边形P’是正多边形，P是内接在椭圆E上的多边形，它的顶点是P’的顶点到E的横轴的垂线与椭圆E的交点，我们有以下关系

那么两个多边形P和P’之间的面积关系是:

但是这些多边形可以有任意数量的边，它们可以无限接近圆和椭圆。

我们得到椭圆面积的公式:

如果我们的直觉是正确的，那么这就是椭圆面积的公式。使用mathlet缩放，我们可以看到非常好的近似，但是多边形永远不会完全填充整个椭圆或圆。

这是一个好方法，但是阿基米德需要一个逻辑证明。

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