三角形的内角和是多少度 三角形内角和为什么是180度

三角形内角之和是多少(为什么三角形内角之和是180度)

如果有人问你:“三角形内角之和是多少？”你肯定会不假思索地告诉他:“180！”

如果那个人说不是180，那你可能认为他无知。

其实“三角形内角之和等于180”只是欧几里得几何中的一个定理。也就是说，在欧氏几何中，三角形内角之和等于180°，但如果跳出欧氏几何的范围，三角形内角之和不一定等于180°！

以栗子为例。地球赤道、0度经线和90度经线相交形成“三角形”。这个“三角形”的三个角应该是90°，它们的和是270°！

你觉得奇怪吗？除了欧几里得几何，你还知道其他几何吗？这些几何被称为非欧几里得几何。

欧洲几何

想要探索非欧洲几何，首先要了解欧洲几何。欧几里得几何是指根据古希腊数学家欧几里得构造的几何。有时仅指平面上的几何，即平面几何。数学老师上课教的是欧洲几何。它有以下简单的公理:

1.任何两点都可以用直线连接。

2.任何线段都可以无限延伸成直线。

3.给定任意线段，它的一个端点可以作为圆心，线段可以作为半径做圆。

4.所有直角都是全等的。

5.如果两条直线与第三条直线相交，并且同一侧的内角之和小于两个直角之和，则两条直线必须在此侧相交。

这五个“显而易见”的公理是平面几何的基石，我们也是依靠这些公理来解决几何问题的。但是机智的你有没有发现，第五公设(平行公设)和前面四公设相比，啰嗦又不那么明显，有违数学的简洁性和美观性？

在《几何元素》中，证明了前28个命题没有使用这个公设，这自然引起人们考虑这个啰嗦的公设是否可以从其他公理和公设中推导出来，也就是说平行公设可能是多余的。

罗氏几何的诞生

所以有数学家问，第五公设是否可以作为定理而不是公设。我们能依靠前四个公设来证明第五个公设吗？这是几何发展史上最著名的一次，关于“平行线理论”争论了2000多年。

由于第五公设的证明问题一直没有解决，人们逐渐怀疑证明方式是错误的。第五公设能被证明吗？

18世纪，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中走了另一条路。罗巴切夫斯基的父亲“老罗”毕生致力于研究第五公设的证明，但一无所获。老罗曾告诫儿子“罗晓”:“不要搞第五公理。我一生都在研究它，还没有研究出来。这简直是数学家的噩梦。”

然而，小罗没有听从父亲的建议。他提出了一个与欧几里得平行公理相矛盾的命题“如果稍微超出直线一点，至少有两条直线不能与已知直线相交”，并用它来代替第五公设，再与欧几里得几何的前四公设结合，形成公理体系，展开一系列推理。他认为，如果这种基于系统的推理存在矛盾，就相当于证明了第五公设。我们知道这其实是数学中的反证法。

罗氏几何协调双曲面模型

然而，在他极其细致深入的推理过程中，他提出了一个又一个直觉上奇怪但逻辑上不可调和的命题。最后，罗巴切夫斯基得出了两个重要结论:

第一个和第五个公设无法证明。

其次，通过新公理系统中的一系列推理，得到了一系列没有逻辑矛盾的新定理，形成了新的理论体系。这个理论体系和欧几里得几何一样完整和严谨。

左:欧洲几何右:罗氏几何

这种几何被称为罗巴切夫斯基几何，简称洛巴切夫斯基几何，也是我们发现的最早的非欧洲几何。

罗氏几何公理体系与欧几里得几何的区别在于，欧几里得几何的平行公理“稍微超出一条直线，一条直线可以且只能平行于一条已知直线”被“稍微在一条直线之外，至少有两条直线可以平行于这条直线”所取代，其他公理基本相同。由于平行公理的不同，通过演绎推理产生了一系列不同于欧氏几何内容的新命题。

机智，你可能已经发现以上命题与我们的直觉相矛盾。然而，经过思考，数学家提出，我们可以做一个直观的“模型”来证明它的正确性。

准球面

1868年，数学家贝塔米发表了一篇著名的论文《解释非欧几何的尝试》，证明了非欧几何可以在欧几里得空之间的曲面(如准球面)上实现。他发现这里三角形的三个内角之和小于180°，相当于为罗氏几何找到了一个实用的模型。

当时被称为“数学王子”的高斯也发现第五公设无法证明，还涉足了非欧几何的研究。但高斯害怕这一理论受到当时教会势力的攻击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果。他只在信中向朋友表达自己的观点，并没有公开支持罗巴切夫斯基的新理论。

黎曼几何

那么，既然我们可以把第五公里改成“有点太远了，平行于已知直线的直线很多”，那我们是不是也可以改成“有点太远了，没有平行于已知直线的直线”？

随后，一位名叫黎曼的智者创造了自己的几何——黎曼几何，将欧洲几何的前四公里与“有点太远了，没有一条直线与已知的直线平行”结合起来。例如，在球体上，在直线外一点画的直线必须与已知直线相交。所以黎曼几何也叫椭球几何。

# #有人可能会说地球上的纬度线是平行的？！但注意曲率展开后的纬度是弯曲的，纬度上任意两点之间最短的连线不是纬度本身，当然赤道除外。球体上的直线只是一个大圆。##

黎曼几何在导航中也得到了广泛应用。地球本身是弯曲的。如果用欧洲几何，只会得出错误的结论。

信用:哔哩哔哩肉兔君

现代黎曼几何已应用于广义相对论。爱因斯坦广义相对论中空之间的几何是黎曼几何。在广义相对论中，爱因斯坦放弃了时间空均匀性的思想，他认为时间空是弯曲的，这和黎曼几何的背景正好相似。正因为如此，爱因斯坦在看到罗巴切夫斯基和黎曼的发现后欣喜若狂。他终于找到了一种可以解释相对论的数学工具。

数学的意义在于它总是领先于其他科学，我们可以通过数学研究为其他科学提供很多帮助。

来源：牛油果进化论编辑：AI近期热门文章Top10↓ 点击标题即可查看 ↓1. 首届黑洞PS大赛来袭！为了这张「高糊」的图，科学家做出了啥贡献？2. 物理学四大神兽，除了“薛定谔的猫”还有谁？3. 地下多大的金矿才能影响到单摆实验？| No.1494. 为什么用木棍打衣服就可以洗干净衣服？| No.1505. 为了替你出气，我们给讨厌的杨柳絮来个「以暴制暴」6. 玩扫雷还有什么技巧？科学家的玩游戏方法你绝对想不到7. 在我国，没有任何一张地图能告诉你你的真实位置8. 在客户鱼嘴里提供服务的小清洁虾、清洁鱼，是怎么知道自己不会被吃掉的呢？9. 你以为土拨鼠只会尖叫？其实它可能正在骂你10. 你知道为了测博尔特的速度，我们有多努力嘛？

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